UNIDAD+1.-+Teoría+de+errores.

Subtemas


 * 1.1 Importancia de los métodos numéricos. **
 * Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geométricas complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.
 * En el transcurso de la carrera tengamos la ocasión de usar software disponible comercialmente que tenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos.
 * Hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas “hechos”. Si esta versado en los métodos numéricos y es un adepto de la programación de computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costosos.
 * Los métodos son un vínculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Es bien sabido que un camino efectivo para aprender programación actualmente es escribir programas de computadora. Porque la mayoría de los métodos numéricos son diseñados para implementarlos en las computadoras, por tanto, son ideales para este propósito. También hay especialistas para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted implemente en forma satisfactoria los métodos numéricos en computadora y aplique estos para resolver de otra manera los problemas difíciles, usted dispondrá de una excelente demostración de cómo las computadoras pueden servir para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
 * Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.




 * 1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. **

//Cifra significativa//.- Las cifras significativas de un numero son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable.

//Exactitud//.- Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido con el valor verdadero.

//Precisión//.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

//Incertidumbre//.- Se refiere a la magnitud en la dispersión de los valores.

//Sesgo//.- Se define como una desviación sistemática del valor verdadero.


 * 1.3 Tipos de errores. **

//Error de concepto//: inexactitud o equivocación al producir en la mente una idea sobre algo. //Error de apreciación//: es una inexactitud o equivocación al percibir con los sentidos y la mente un determinado fenómeno o evaluar determinada situación o problema. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">//Error de medición//: la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de medida. El error de medición depende de la escala de medida empleada, y tiene un límite. Los errores de medición se clasifican en distintas clases (accidentales, aleatorios, sistemáticos, etc.). <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">//Error absoluto//: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Error absoluto es la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que resultaron. El error absoluto indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo. //<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Ea=imprecisión=incertidumbre // <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">//Error relativo//: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética). Se puede dar en % de error relativo.




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">1.3.1 Definición de error: error absoluto y relativo. **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">//Error Absoluto.-// Error que se determina al dividir el error absoluto entre el valor verdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes por mil o partes por millón.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">//Error Relativo//.- Errores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona que los datos se distribuyan más o menos con simetrías alrededor de valor promedio. (Se refleja por su grado de precisión).


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">1.3.2 Error por redondeo. **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">//Errores de redondeo//.- Se producen cuando los números tienen un límite de cifras significativas que se usan para representar números exactos.

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta.

Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos.

Proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal.

Método común

Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:

Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.

Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.

Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.

Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62.

Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615= 12,62.

Esto genera errores de redondeo

En ambos casos tenemos que:

valor verdadero = valor aproximado + error

Definición. Definimos el error absoluto como:

error absoluto = valor verdadero - valor aproximado


 * 1.3.3 Error por truncamiento.**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada. Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos. Por ejemplo dados los números reales:

3,14159265358979…

32,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.

El resultado es:

3,1415

32,4381

6,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto.

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la seria completa (que se supone es exacta). <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; line-height: 16.8pt; margin: 15.95pt 0cm 0cm;">En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. en un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo “n” veces.


 * 1.3.4 Error numérico total.**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Pero aquí surge un problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso a proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo): <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; line-height: 16.8pt; margin: 15.95pt 0cm 0cm;">El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento (los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">ERROR NUMÉRICO TOTAL

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Pero aquí surge un problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso a proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo):

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento (los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).


 * 1.4 Software de cómputo numérico**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">• Nos ayudan a reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos.

• Nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora.

• Matlab es al mismo tiempo un entorno y un lenguaje de programación. Uno de sus puntos fuertes es el hecho de que el lenguaje d-e Matlab permite construir nuestras propias herramientas. Podemos fácilmente crear nuestras propias funciones y programas especiales (conocidos como archivos-M) en código Matlab. Los podemos agrupar en Toolbox: colección especializada de archivos-M para trabajar en clases particulares de problemas.

• La manera más fácil de visualizar Matlab es pensar en él como en una calculadora totalmente equipada, aunque, en realidad, ofrece muchas más características y es mucho más versátil que cualquier calculadora. Matlab es una herramienta para hacer cálculos matemáticos. Es una plataforma de desarrollo de aplicaciones, donde conjuntos de herramientas inteligentes para la resolución de problemas en áreas de aplicación específica, a menudo llamadas toolboxes, se pueden desarrollar con facilidad relativa.

10 características del software de calculo numérico Matlab.

1) Cálculo numérico rápido y con alta precisión 2) Manejo simbólico 3) Graficación y visualización avanzada 4) Programación mediante un [|lenguaje] de alto nivel 5) Programación estructurada y orientada a objetos 6) Soporte básico para [|diseño] de interfaz gráfica 7) Extensa [|biblioteca] de funciones 8) Aplicaciones especializadas para algunas ramas de ciencias e [|ingeniería] 9) Herramientas interactivas para exploración, diseño y resolución de problemas iterativos 10) Herramientas para crear interfaces gráficas de usuario personalizadas


 * 1.5 Métodos iterativos.**