UNIDAD+4.-+Diferenciación+e+integración+numéricas.

Subtemas 4.1 Diferenciación numérica. Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de la función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.



=4.1.1 Fórmula de diferencia progresiva y regresiva.=




 * Diferencias finitas.**


 * Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.**



4.1.2 Fórmula de tres puntos.

Supongamos que solo tenemos tres datos igualmente espaciados,es decir, con. Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")

4.1.3 Fórmula de cinco puntos.

De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, con, se puede obtener la fórmula de cinco puntos.

4.2 Integración numérica.

En análisi numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral multiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:



Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:



Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

4.2.1 Método del trapecio.

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado: Una línea recta se puede representar como: //1// El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de //ƒ(×)// entre los limites ɑ y b:  El resultado de la integración es: Que se denomina regla del trapecio.



4.2.2 Métodos de Simpson. = = **REGLA DE SIMPSON** La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación: Si se designan ɑ y b como xₒ y x₂, y ƒ₂ (x) se representan por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en: Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente formula: donde, en este caso, h=(b - ɑ)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida en 3 en la ecuación.



4.2.3 Integración de Romberg.La integración de romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matematicas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.

4.2.4 Método de cuadratura gaussiana.

n las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalos equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica. Las formulas de integración de Gauss tienen la forma: Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función f(x).



4.3 Integración múltiple.

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como sigue: Al numerador se le llama integral doble. Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función sobre un área rectangular. Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas. Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integración se incorpora en la segunda integración. Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión.



=4.4 Aplicaciones.=

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.


 * Problemas resueltos del libro de Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra Steven y Canale R. Cuarta edición, pág. 640. **



=Programa en Matlab de los Métodos de Diferenciación e Integración Numérica =